Triple products

• $vec\{A\}\; times\; (vec\{B\}\; times\; vec\{C\})\; =\; (vec\{C\}\; times\; vec\{B\})\; times\; vec\{A\}\; =\; vec\{B\}(vec\{A\}\; cdot\; vec\{C\})\; -\; vec\{C\}(vec\{A\}\; cdot\; vec\{B\})$
• $vec\{A\}cdot(vec\{B\}times\; vec\{C\})\; =\; vec\{B\}cdot(vec\{C\}times\; vec\{A\})\; =\; vec\{C\}cdot(vec\{A\}times\; vec\{B\})$

these can be proved by giving arbitrary components to $A,$ $B,$ and $C,$

$vec\{A\}\; =\; (a\_x,\; a\_y,\; a\_z)$

$vec\{B\}\; =\; (b\_x,\; b\_y,\; b\_z)$

$vec\{C\}\; =\; (c\_x,\; c\_y,\; c\_z)$

then finding the values of each statement, such as $vec\{B\}times\; vec\{C\}$, in terms of the generic components will show that both sides of the equation are equal.

Other products

• $(vec\{A\}\; times\; vec\{B\})\; cdot\; (vec\{A\}\; times\; vec\{B\})\; =\; A^2\; B^2\; -\; (vec\{A\}\; cdot\; vec\{B\})^2\; =\; vec\{B\}\; cdot\; vec\{A\}\; times\; (vec\{B\}\; times\; vec\{A\})$ (note: this is another form of Lagrange's formula).

Product rules

• $vec\{nabla\}\; (fg)\; =\; f(vec\{nabla\}g)\; +\; g(vec\{nabla\}\; f)$
• $vec\{nabla\}(vec\{A\}\; cdot\; vec\{B\})\; =\; vec\{A\}\; times\; (vec\{nabla\}\; times\; vec\{B\})+vec\{B\}\; times\; (vec\{nabla\}\; times\; vec\{A\})+(vec\{A\}\; cdot\; vec\{nabla\})vec\{B\}+(vec\{B\}\; cdot\; vec\{nabla\})vec\{A\}$
• $vec\{nabla\}\; cdot\; (fvec\{A\})=f(vec\{nabla\}\; cdot\; vec\{A\})+vec\{A\}\; cdot\; (vec\{nabla\}\; f)$
• $vec\{nabla\}\; cdot\; (vec\{A\}\; times\; vec\{B\})=vec\{B\}\; cdot\; (vec\{nabla\}\; times\; vec\{A\})-vec\{A\}\; cdot\; (vec\{nabla\}\; times\; vec\{B\})$
• $nablatimes\; (vec\{A\}timesvec\{B\})=\; (vec\{B\}cdotnabla)\; vec\{A\}-(vec\{A\}cdotnabla)vec\{B\}\; +\; vec\{A\}\; (nablacdotvec\{B\})\; -\; vec\{B\}(nablacdotvec\{A\})$
• $nablatimes\; (vec\{A\}timesvec\{B\})=\; vec\{A\}\; times\; (nablatimesvec\{B\})\; -\; vec\{B\}\; times\; (nablatimesvec\{A\})\; -\; (vec\{A\}timesnabla)\; times\; vec\{B\}\; +\; (vec\{B\}timesnabla)\; times\; vec\{A\}$
• $nablatimes\; (fvec\{A\})=f(nablatimesvec\{A\})+(nabla\; f)timesvec\{A\}$

Green's first identity

• $vec\{nabla\}\; cdot\; left(f\; vec\{nabla\}\; f\; right)\; =\; f\; vec\{nabla\}\; cdot\; left(vec\{nabla\}\; f\; right)\; +\; left(vec\{nabla\}\; f\; cdot\; vec\{nabla\}\; f\; right)\; =\; f\; nabla^2\; f\; +\; left(vec\{nabla\}\; f\; cdot\; vec\{nabla\}\; f\; right)$
  therefore
  $f\; nabla^2\; f\; =\; vec\{nabla\}\; cdot\; left(f\; vec\{nabla\}\; f\; right)\; -\; left(vec\{nabla\}\; f\; cdot\; vec\{nabla\}\; f\; right)$

Fundamental theorems

• $int\_\{V\}\; (vec\{nabla\}\; cdot\; vec\{A\})\; ,dv\; =\; oint\_\{S\}\; vec\{A\}\; cdot\; dvec\{a\}$

Stokes' theorem

• $int\_\{S\}\; (nabla\; times\; vec\{A\})\; cdot\; dvec\{a\}\; =\; oint\_\{C\}\; vec\{A\}\; cdot\; dvec\{l\}$

See also

• List of mathematical identities
• Vector calculus identities